Matematika materi gradien garis kelas. 8

Pengertian dan Rumus Mencari Gradien Garis beserta Contoh Soal Gradien

Berikut ini adalah pembahasan tentang Gradien yang meliputi :

1. Pengertian gradien,

2. Rumus mencari gradien.

3. Penerapan rumus mencari gradien

4. Pengertian Gradien

Pernahkah kalian melewati jalan yang naik dan turun seperti halnya jalan-jalan di daerah pegunungan? Tahukah kalian bahwa dalam pembuatan jalan yang menanjak dan berkelok-kelok diperlukan perhitungan tertentu agar kendaraan mudah melewatinya.

Salah satu perhitungan matematika yang harus diperhatikan dalam pembangunan jalan seperti itu adalah kemiringannya.

Perhatikan gambar di bawah ini! Untuk menjangkau dan memadamkan titik api yang menjadi penyebab kebakaran, para petugas pemadam kebakaran menggunakan tangga dengan kemiringan tertentu.

Tahukah kalian mengapa tangga yang digunakan oleh pemadam kebakaran posisinya miring?

Jika kita menganggap tangga pada gambar tersebut adalah satu garis lurus maka garis tersebut memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan ini dalam matematika dikenal dengan sebutan gradien.

Jadi, gradien suatu garis adalah ukuran kemiringan atau kecondongan suatu garis.

Selain itu gradien juga disebut sebagai koefisien arah pada suatu garis lurus dan dilambangkan dengan huruf m.

Gradien adalah nilai kemiringan / kecondongan suatu garis yang membandingkan antara komponen Y (ordinat) dengan komponen X (absis).

Rumus Mencari Gradien

Ada beberapa kondisi atau keadaan untuk mencari gradien garis;

1. Gradien Garis yang Melalui Titik Pusat (0,0) dan Titik (x, y)

Kalian sudah mengetahui bahwa persamaan garis yang melalui titik pusat (0,0) dan titik (x, y) adalah

y = m x.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal dan Pembahasannya

Tentukanlah gradien persamaan garis yang melalui titik pusat dan titik (3, 5)!

Penyelesaian:

Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (3, 5) adalah y = (5/3)x. Sehingga gradiennya adalah 5/3.

Dari contoh soal di atas dapat disimpulkan bahwa gradien dari persaman garis y = mx adalah m.

Kesimpulan bahwa perbandingan antara komponen y dengan komponen x pada setiap ruas garis adalah sama. Nilai perbandingan tersebut dinamakan gradien.

Jadi, persamaan garis y = mx memiliki gradien m dengan m = y/x.

2. Gradien Garis yang Melalui Dua Buah Titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Tidak selamanya bahwa sebuah garis itu akan melewati titik pusat (0,0). Jika suatu garis tidak melewati titik pusat (0,0), dapatkah kalian menentukan gradiennya?

Gradien garis yang melalui titik A= ( X1, Y1 ) dan B= ( X2, Y2 ) adalah :

m_(AB= (Y1 - Y2)/(X2 - X2))

Contoh Soal dan Pembahasannya

Tentukanlah gradien persamaan garis yang melalui titik (6, 2) dan titik (3, 5)!

Penyelesaian:

x1 = 6; y1 = 2; x2 = 3; y2 = 5

Jadi, gradien persamaan garisnya adalah -1.

Kesimpulan bahwa perbandingan komponen x dan komponen y pada setiap ruas garis adalah sama, yaitu 1. Bilangan 1 ini merupakan gradien dari persamaan garis y = x + 2.

Jadi, persaman garis y = mx, c ≠ 0 memiliki gradien m dengan;

Latihan soal

Tentukan gradien garis yang melalui pangkal koordinat dan titik berikut :

A = ( 3 , 4 )

B = ( 3 , - 2 )

C = ( - 4 , 5 )

Tentukan gradien garis yang melalui dua titik.

( 4 , 3 ) dan ( 6 , 8 )

( 6 , 0 ) dan ( - 2 , 4 )